【OpenSees】浅析约束处理方法（一）：Plain、Penalty

“Plain、Penalty罚数法”

OpenSees分析模块有约束处理方法ConstraintHandler、自由度编排方式DOF_Numberer、迭代算法SolutionAlgorithm、线性方程求解器Solver、收敛准则ConvergenceTest五部分组成。其中，迭代算法的推送可见：

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为处理模型中的单点约束（如fix）及多点约束（如rigidDiaphragm、EqualDOF），必须通过ConstraintHandler定义约束处理方法。OpenSees具有四种约束处理方法：Plain、Penalty（罚数法）、Lagrange（拉格朗日乘子法）、Transformation。采用任意一种约束处理方法，在特定的情景下均可能出现求解问题。

本期推送将通过算例，在浅析Plain、Penalty（罚数法）的同时，复现可能会引发错误的环节。点击“阅读原文”可查看与本推送相关的测试算例。下期推送将浅析Lagrange（拉格朗日乘子法）、Transformation约束处理方法。

测试模型简介

算例如图2所示：杆件由柔性杆（element elasticBeamColumn 1 1 2 20 29000 1400 1）和刚性杆约束（rigidLink -beam 2 3）组成，一段支座固接，一段支座为滑动支座。因此，节点2和节点3应具有相同的水平位移和转角，节点2和节点3之前的垂直位移差等于转角乘以刚性杆长度。体系刚度矩阵如图1所示。

图1 测试算例与体系刚度矩阵

Plain

Plain命令主页如图2所示，可知Plain仅可处理”fix”及”equalDOF”两类约束，无法处理”rigidLink”多点约束。若仍采用Plain处理上述约束，则刚度矩阵如图2所示。可知，此时矩阵奇异，无法完成矩阵求解。

图2 Plain处理后的刚度矩阵与求解结果

若仍计划求解上述算例，可通过相对刚性的elasticBeamColumn替代rigidLink约束，如根据柔性杆弹模放大1E4倍定义刚性杆（element elasticBeamColumn 2 2 3 20 29000 E4 1400 1），此时进行求解将获得如图3所示的有效结果。

图3 通过刚性单元实现约束并通过Plain约束处理完成求解

Penalty罚数法

Penalty（罚数法）在不改变矩阵维度的前提下，通过在刚度矩阵中引入大刚度弹簧实现约束，其命令主页如图4所示。可知，弹簧刚度（罚数）应足够大以满足约束需求，但也不应过大避免方程组病态。理论上可为每个约束定义不同的罚数，但OpenSess仅允许用户分别对所有单点约束及所有多点约束定义相同的罚数，这为罚数的取值带来一定的挑战。本例中罚数取值为1E4倍的柔性杆线刚度，刚度矩阵如图4所示，其中红色项为用于处理约束的罚数赋予项，可见矩阵维度未改变。

图4 Penalty罚数法与其处理后的刚度矩阵

由于微小的位移变化将引起大刚度弹簧力的显著变化，因此在Penalty中采用与力相关的收敛准则（如能量收敛准则NormUnbalance等）并不明智，将出现如图5所示的收敛问题。

图5 Penalty罚数法与力相关的收敛准则

此时将收敛准则修改为仅与位移相关收敛准则（如NormDispIncr等）则迭代收敛并获得有效的求解结果。

图6 Penalty罚数法与仅位移相关的收敛准则