【OpenSees】振型与阻尼（三）：瑞利阻尼的三个刚度比例系数

“瑞利阻尼刚度比例系数betaKcomm更优”

前两期推送主要介绍模态分析（【OpenSees】模态与阻尼（一）：振型参与质量系数计算，【OpenSees】模态与阻尼（二）：实时模态分析），后几期推送主要聚焦于结构阻尼。

瑞利阻尼是OpenSees最常用的阻尼矩阵构造方法。传统的瑞利阻尼通过质量比例系数、刚度比例系数共2个待定系数来构造阻尼矩阵，而OpenSees的瑞利阻尼（如图1所示）有4个待定系数，分别为质量比例系数alphaM、3个刚度比例系数betaK、betaKinit、betaKcomm。为何有3个刚度比例系数？其各自的作用又是何如？待本推送细细道来。点击“阅读原文”可查看并下载本推送算例。

图1 OpenSees瑞利阻尼命令流

瑞利阻尼刚度比例系数

先简单回顾下瑞利阻尼。瑞利阻尼假设结构的阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的组合，有两个待定系数：质量比例系数alpha0，刚度比例系数alpha1。通过给定两个振型阻尼比的值，可唯一确定alpha0与alpha1。

阻尼比随频率的变化规律曲线如图2所示。可见，与质量成正比的部分当频率趋于零时，变得无限大，随着频率的增加而迅速变小；与刚度成正比的部分，则随频率的增加而线性增加。当用于确定瑞利阻尼待定系数的频率wi及wj具有相同阻尼比时（工程常用），若频率在[wi, wj]区间内，则阻尼比小于或等于给定的阻尼比；在区间外则阻尼比大于给定阻尼比，且距离越远，阻尼比越大。因此，用于定义alpha0与alpha1的频率点wi及wj需覆盖结构分析中感兴趣的频段。

在弹塑性时程分析中，结构刚度[K]在逐步发生退化。此时，是否需要根据时变的结构刚度[K]实时重构阻尼矩阵呢？为此，OpenSees中瑞利阻尼的构造方法如下。式中，共有3个刚度比例系数betaK、betaKinit、betaKcomm，分别对应各迭代步的刚度矩阵KT、初始刚度矩阵Kini、各分析步的刚度矩阵KC。

图2 瑞利阻尼及OpenSees刚度更新

由图2可知，各迭代步的刚度矩阵KT更新次数最多，各分析步的刚度矩阵KC次之，初始刚度矩阵Kini则恒定不变。

假设积分步长足够小，在一积分步内结构响应未发生显著变化，此时采用KT和KC的求解结果将接近，而两者中KC的更新次数更少，因此采用KC有利于提高收敛性。由于Kini恒定不变，当结构刚度发生退化时，结构主要频率将脱离用于定义比例系数的频率区间[wi, wj]，此时将高估结构阻尼，导致响应偏小。

因此，可从原理上总结：betaK、betaKinit、betaKcomm一般仅会三者取其一；采用betaK与采用betaKcomm计算结果相近，但betaKcomm收敛性更优；采用betaKinit低估结构响应。

分析实例

选取推送（【OpenSees】双向地震与动力增量分析）中框架结构为算例（【PBSD】【OpenSEES】【YTO】智能化的结构弹塑性分析全套解决方案），利用PBSD（【PBSD】地震动工具箱之教学视频）生成人工波，分别采用betaK、betaKinit、betaKcomm定义瑞利阻尼，进行0.6g人工波下的弹塑性时程分析，用以验证上述结论。

图3 测试算例

结构顶点位移曲线如图4所示。可见，采用betaKinit定义瑞利阻尼，由于阻尼矩阵恒定不变，当结构刚度退化时将高估结构阻尼比，导致结构响应偏小（207mm），顶点最大位移相对误差高达50%；采用betaK与采用betaKcomm定义瑞利阻尼，均可考虑结构退化影响，两者分析结果基本完全相同（299mm）。

迭代次数累积曲线如图4所示。可见，betaK迭代次数最多（耗时1605s），betaKcomm次之（耗时1477s），betaKinit迭代次数最少。其本质与阻尼矩阵的更新频率直接相关，前文已论述，此处不再赘述。

图3 顶点位移及累积迭代次数对比

总结：采用betaKinit迭代次数最少，但将低估结构响应；采用betaK与采用betaKcomm计算结果相近，但betaKcomm迭代次数更少，收敛性更优。建议采用betaKcomm定义瑞利阻尼。