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“浅析各类积分方法的优劣性和适用范围”
本文将简要介绍数值积分的相关概念，并浅析纤维单元的数值积分方法，探究各类积分方法的差别与优劣性。
数值积分基本概念
数值积分：在数学分析中，定积分的计算不总是可行的，因此需要用数值逼近的方法近似计算定积分值，该数值逼近的积分方法和理论称为数值积分。
代数精度：当f(x)是0~m次多项式，均有数值积分余项Rn=0，便称该积分方法至少具有m次代数精度；当f(x)是m+1次多项式时，若数值积分余项Rn不等于0，称该积分方法具有m次代数精度。
数值求基公式一般形式：
权重及积分点位置根据范德蒙德矩阵（Vandermonde）进行计算：
图1 Vandermonde System
各类积分方法
为真实反应构件的变形及受力特性，纤维单元的积分方法宜满足下列条件：
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积分点宜位于单元端部，可在水平力作用下反应单元的最大内力及变形。
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积分方法应能准确反映线性曲率下的单元受力及变形特性。（准确反映弹性）
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Gauss-Lobatto
Gauss-Lobatto是纤维单元最常用的积分方法，也是OpenSees中纤维单元默认的积分方法。该积分方法有2个积分点分别位于单元两端，代数精度为2N-3（N为积分点数目）。
图2 Gauss-Lobatto积分点及权重
应力元利用二次积分截面曲率来计算单元挠度，而当N=2时，Gauss-Lobatto的代数精度仅为1，此时无法真实反应线性曲率下的单元受力及变形特性，如图3所示。
图3 Gauss-Lobatto积分点数目与单元变形
因此，为了保证单元能准确模拟线性曲率下的单元变形特性，Gauss-Lobatto至少需要3个积分点。一般情况下，4-6个积分点可保证模拟较为准确的非线性结构响应。
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Gauss-Legendre
Gauss-Legendre具有较高的代数精度2N-1，但其积分点不在单元端部。因此在非线性分析中，截面的屈服未发生在单元端部，导致单元承载力偏大。
图4 Gauss-Legendre积分点及权重
利用【工具】FRAME [框架辅助建模+纤维剖分] 工具剖分纤维截面，并进行低周往复分析，分析结果如图5所示。由图5可知，由于积分点不在端点，Gauss-Legendre积分高估了构件的承载力。因此该积分方法较少用于模拟单个纤维单元，一般需要和其他积分方法组装使用（如可用于模拟分布塑性铰的中部单元）。
图5 Gauss-Legendre高估构件承载力
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Gauss-Radau
Gauss-Radau代数精度为2N-2，高于Gauss-Lobatto，但其单元仅有一个端点拥有积分点。因此该积分方法极少用于建立单个纤维单元，多用于模拟分布塑性铰的塑性区单元，在往后描述分布塑性铰积分方法的推文中再详细阐述。
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Newton-Cotes
Newton-Cotes的单元端点均有积分点，其余积分点在单元内部等距分布。Newton-Cotes代数精度是跳跃的：当N为偶数时，代数精度为N-1；当N为奇数时，代数精度为N。
图6 Newton-Cotes积分点及权重
N=2和N=3分别是我们熟知的梯形公式和Simpson公式，分别等同于2个和3个积分点的Gauss-Lobatto积分。当N>3时，Gauss-lobatto代数精度高于Newton-Cotes，且当积分点数目较多时，Newton-Cotes存在负值权重，其数值稳定性可能存在问题，因此该积分方法在纤维单元中不常用。
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Fixed Location
OpenSees中的Fixed Location由用户定义积分点位置，OS根据积分点位置利用范德蒙德矩阵求取积分点权重。若采用Gauss和Newton的积分点分布方式，可模拟Gauss和Newton的积分方法。该积分方法的弊端在于，不合理的积分点分布方式，可能会产生小于0的权重值，导致积分结果不稳定。
由于该积分方法允许用户对不同的积分点赋予不同的截面，因此正适合来探究位移元和应力元的一大区别：位移元过线性插值来构造轴向位移场，导致单元内部轴向应变为常数；而应力元通过线性插值来求取截面轴力，再通过截面柔度矩阵求取轴向应变，因此不存在常值应变的问题，如图7所示。
图7 基于Fixed Location探索应力元与位移元的差别
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Lower Order
Lower Order在Fixed Location的基础上，允许使用者定义部分积分点的权重，其余积分点的权值再根据范德蒙德矩阵计算，进而防止负值权重的产生，避免数值积分的不稳定性。使用者可在需要的位置放置积分点，并可有效避免负值权重的产生，因此该方法常用于影响线分析。
图8 Lower-Order权重与积分点
为使单元能正确模拟线性曲率下的变形及受力特性，需要积分方法具有2次以上的代数精度，因此在Lower Order方法中，应至少有3个积分点的权重需通过范德蒙德矩阵计算，来保证2次代数精度。
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Mid-Distance
Mid-Distance为矩形法。该积分方法准确积分常数对象，但对于其余情况则需要增加大量积分点，提高了计算成本，因此基本不在纤维单元中采用。
图9 Mid-Distance示意图
总 结
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Gauss-Lobatto是最常用的积分方法。为准确模拟线性曲率问题（弹性），需要至少3个积分点。对于非线性分析，需要4-6个积分点方可保证计算精度。
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Gauss-Legendre积分点不在单元端部，会高估构件承载力，较少用于定义当个纤维单元，一般与其他积分方法组装使用（如分布塑性铰的中部单元）。
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Gauss-Radau仅有一个积分点位于单元端部，一般用于模拟分布塑性铰的端部塑性铰单元。
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Newton-Cotes代数精度低，且积分点的增多会导致积分结果不稳定。
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利用Fixed Location探究了位移元和应力元的区别，位移元存在常值轴向应变的问题。
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Low Order可避免Fixed Location中的负值权重问题，为保证准确模拟线性曲率问题，需至少有3个积分点通过范德蒙德矩阵计算。该方法常用于影响线分析。
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Mid-Distance为矩形法，需要大量积分点才可保证精度要求，一般不采用。
在建筑工程中，逃不了梁柱单元的非线性分析。在未来的推文中，将逐渐和大家分享分布塑性铰的积分方法、构件强度柔化的模拟问题、位移元应力元的区别等与非线性梁柱单元相关的基本概念。
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