【OpenSees】模态与阻尼（一）：振型参与质量系数计算

“振型参与质量系数计算”

《建筑抗震设计规范》5.2.2条文说明中指出：振型个数一般可以取振型参与质量达到总质量90%所需的振型数；《高层建筑混凝土结构技术规程》5.1.13条规定：抗震设计时，B级高度的高层建筑结构、混合结构和复杂高层建筑结构，宜考虑平扭耦联计算结构的扭转效应，振型数不应小于15，对多塔楼结构的振型数不应小于塔楼数的9倍，且计算振型个数应使振型参与质量不小于总质量的90%。

上期推送（【OpenSees】主余震与序列地震分析（二）：分析回滚）介绍OpenSees的分析回滚机制，本推送将在OpenSees中实现振型参与质量系数的计算。点击“阅读原文”可查看并下载本推送算例。

振型参与质量系数

先简单回顾下振型质量、振型参与系数、振型参与质量、振型参与质量系数及累积振型参与质量系数的计算方法。可见，为计算振型参与质量系数，节点在各自由度下的质量及振型位移为仅有的未知量。

OpenSees实现计算振型参与质量系数的代码如下。首先通过getNodeTags命令获得所有节点，通过nodeEigenvector命令获得节点在不同振型下的振型位移，通过nodeMass命令获得节点不同自由度下的质量。

proc ProModeAnalyze_Proc { ModeNum } {    #Get Nodes    set Lnode [getNodeTags]    #EigenAnalysis    set Llam [eigen $ModeNum]    set pi 3.1415926    #Dofs    set Ldof { 1 2 3 4 5 6 }    #Accumulate Participation Mass Ratio List    set LAccMFactor { 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 }    #Each Mode    for { set modei 1 } { $modei <= $ModeNum } {incr modei } {        #Generalized mass of mode        set Mn 0        set LLn { 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 }        #Total Mass        set LMass { 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 }        #Participation Mass Ratio List        set LMFactor { 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 }        #Foreach Node        foreach nodei $Lnode {            #Get Eigen Vector            set LeigenV [nodeEigenvector $nodei $modei]            #Each Dof            foreach Ln $LLn eigenV $LeigenV accMass $LMass dofi $Ldof {                #Get Node Mass                set mass [nodeMass $nodei [expr $dofi]]                #Sum                set Ln [expr $Ln + $eigenV * $mass ]                set Mn [expr $Mn + pow($eigenV, 2) * $mass ]                set accMass [expr $accMass + $mass]                #Modify value in List                lset LLn [expr $dofi - 1] $Ln                lset LMass  [expr $dofi - 1] $accMass            }        }        #Each Dof        foreach Ln $LLn mass $LMass dofi $Ldof accMfactor $LAccMFactor {            #Modal Participation Factor            set pFactor [expr $Ln / $Mn]            #Participation Mass            set pMass [expr pow($pFactor, 2) * $Mn]            #Participation Mass Ratio            set massFactor 0            if { $mass != 0 } {                set massFactor [expr 100 * $pMass / $mass]            }            #Accumulate Mass Factor            set accMfactor [expr $accMfactor + $massFactor]            #Modify value in List            lset LMFactor [expr $dofi - 1] $massFactor            lset LAccMFactor [expr $dofi - 1] $accMfactor        }        #Period        set lam [lindex $Llam [expr $modei - 1]]        set period [format "%.3f" [expr 2*$pi / sqrt($lam)]]        #Participation Mass Ratio        set PMRX [format "%.2f" [lindex $LMFactor [expr 0]]]        set PMRY [format "%.2f" [lindex $LMFactor [expr 1]]]        set PMRZ [format "%.2f" [lindex $LMFactor [expr 5]]]        puts "Mode $modei: Period=$period t PMRX = $PMRX% t PMRY = $PMRY% t PMRZ = $PMRZ%"    }    #Accumulate Participation Mass Ratio    set AccPMRX [format "%.2f" [lindex $LAccMFactor [expr 0]]]    set AccPMRY [format "%.2f" [lindex $LAccMFactor [expr 1]]]    set AccOMRZ [format "%.2f" [lindex $LAccMFactor [expr 5]]]    puts "nTotalPMRX= $AccPMRX% t TotalPMRY= $AccPMRY% t TotalPMRZ= $AccOMRZ%"}

分析实例

以推送【OpenSees】双向地震与动力增量分析的弹塑性模型为例，进行特征值求解。在使用时，通过source命令加载模型，再通过ProModeAnalyze_Proc即可完成特征值及振型参与质量系数计算。可见周期与振型参与质量系数均与YJK弹性模型基本一致。

source "Model\0_Main.tcl"ProModeAnalyze_Proc 5wipe all

图1 测试算例与振型参与质量系数求解

值得注意的是，OpenSees的默认特征值求解器为genBandArpack，该求解器对振型质量进行归一化，而其他特征值求解器如fullGenLapack，则不进行振型质量归一化。振型质量是否归一化，不影响振型参与质量系数的计算，但将影响振型参与系数及振型参与质量的计算，同时影响OpenSees中模态阻尼的定义（模态阻尼将在后续的推送中介绍）。

此外，genBandArpack由于内存占用小、求解效率高，为首选的特征值求解器，但当含质量的节点数较少时，求解高振型的特征值将遇如下错误。此时可选用fullGenLapack特征值求解器。

图2 genBandArpack错误

点击“阅读原文”可查看并下载本推送相关的算例模型。

精彩回顾：

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