ETE-Frame3D 程序增加壳元ShellElement

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2022-02-03，第2版发布
【程序下载】 程序: ETE-Frame3D有限元分析程序(版本2022-02-03)
【实例下载】 实例: Shell Element 实例1~实例5

ETE-FRAME3D上次增加了三维的杆系单元(Frame单元)，这次增加壳单元(shell element)，壳单元按节点数量可划分为三角形单元与四边形单元，根据受力可分为平面应力单元（Membrane Element）、板单元(Plate Element)，壳单元(Shell Element)，以下所有单元理论的综合就成了最终的FRAME-3D的壳单元。以下是FRAME-3D建立壳单元模型三维图(三角形单元建立圆筒模型)。以下是采用的单元介绍与实例验证记录。

FRAME-3D增加了壳单元以后，可以成为学习有限元理论的工具。

其实壳元=板元+膜元，壳元理论包括了T3,Q4,T6,Q8等参元的全部内容，王勖成老师的《有限单元法》里面有大量的介绍，书的后面附有源代码可供学习。
T3,Q4单元用于平面应力分析单元分析
T6,Q8单元理论用于板单元的分析
学会了平面单元与板单元理论，就可以组合成为壳单元了。
 

总结一下有限元程序编程的要点：
关于形函数与高斯积分可以专门做两期结构笔记来讲一下，现在的有限元教材讲得太复杂了。
（a） 了解不同单元的形函数及矩阵[B]的生成方法
（b） 了解单元的单刚自由度与总刚度矩阵之前的关系
（c） 三维单元都需要进行局部坐标与整体坐标的转换
（d） 了解高斯积分方法的计算
（e） 计算整体位移后，转换得到单元的变形
（f） 再通过[B][D]矩阵与单元变形计算单元的内力应力
平面单元，如壳元，板元及膜元的原因是类似的，单元刚度的形成有三个要素
（a） 能过形函数得到单元与等参元的几何关系，也就是求解[J]矩阵
（b） 对形函数求一次偏导二次偏导，得到[N]矩阵，用于形成[B]矩阵
（c） 对不同高斯积分点求解[B][D]矩阵后，积分得到单元矩阵，通过[J]矩阵的反变换把等参元的单刚变成原来坐标单元的单刚。

（1） 四边形平面应力单元Q4_Membrance测试
Q4_Membrance单元就是线性平面应力单元，线性代表插值函数为一次函数。
  算例1描述：长度6m高度3m，厚度为100mm，材料Ec=25000MPa，柏松比为0.2，荷载为1.5kN*13。四边形平面应力单元模型采用线性4结点单元，4个高斯积分点。计算的S11应力竖向位移UZ如下图所示。Frame-3d与SAP2000的计算结果基本吻合。
 
FRAME3D应力S11云图绘制效果

sap2000应力S11云图绘制效果

sap2000与FRAME-3D的主应力对比图

sap2000与FRAME-3D的竖向位移对比图

 
（2） 四边形平面应力单元Q4_Plate测试
Q4_Plate也就是四边形等参薄板单元，就是二次板单元，二次代表插值函数为二次函数，虽然只有4个结点，但是形函数是采用8结点的形函数。
算例2描述：长度6m高度3m，厚度为250mm，材料Ec=25000MPa，柏松比为0.2，荷载为1.5kN*13。四边形平面应力单元模型采用线性4结点单元，4个高斯积分点。计算的M11应力，所有节点的竖向位移UZ如下图所示。Frame-3d与SAP2000的计算结果基本吻合。

SAP2000的M11内力云图

FRAME-3D的M11应力云图
FRAME-3D与SAP2000的竖向位移与应力的对比结果 
 
（3） 三角形平面应力单元T3_Membrance测试
 T3也叫做常应变三角形单元，整个单元只有一个应变值。
算例3描述：长度6m高度3m，厚度为100mm，材料Ec=25000MPa，柏松比为0.2，荷载为15kN*7。四边形平面应力单元模型采用线性4结点单元，4个高斯积分点。计算的Smax应力竖向位移UZ如下图所示。Frame-3d与SAP2000的计算结果基本吻合。

FRAME-3D的SMAX应力云图
sap2000的SMAX应力云图
FRAME-3D与SAP2000的位移对比

FRAME-3D与SAP2000的主应力SMAX的对比
 
 
（4） 三角形板单元T3_Plate测试
对于实际结构或构件，四边形的划分不一定满足边界需求，一般三角形与四边形是混合使用的。所以一定要增加三角形单元。
T3_Plate也就是三角等参薄板单元，就是二次板单元，二次代表插值函数为二次函数，虽然只有3个结点，但是形函数是采用6结点的形函数。
算例4描述：长度6m高度3m，厚度为100mm，材料Ec=25000MPa，柏松比为0.2，荷载为1.5kN*11。四边形平面应力单元模型采用线性4结点单元，4个高斯积分点。计算的Smax应力竖向位移UZ如下图所示。Frame-3d与SAP2000的计算结果基本吻合。
 

FRAME-3D的SMAX应力云图

SAP2000的SMAX应力云图

SAP2000与FRAME-3D的应力与位移的对比结果 

（5） 圆孔平板拉伸问题测试

弹性力学有解析解的传统问题，圆孔平板拉伸问题。经典中的经典，通过对移原理，只建立1/4的模型
主要检测三角形与四边形单元协同使用。

 
算例5描述：长度6m高度3m，厚度为100mm，材料Ec=25000MPa，柏松比为0.2，荷载为1.5kN*11。四边形平面应力单元模型采用线性4结点单元，4个高斯积分点。计算的Smax应力对比如下图所示。Frame-3d与SAP2000的计算结果基本吻合。

FRAME-3D的应力SMAX计算结果

SAP2000的应力SMAX计算结果

SAP2000与FRAME-3D的SMAX应力对比

通过学习王勖成老师的《有限单元法》的相关理论，结合编程软件DELPHI与PYTHON编制出与SAP2000计算结果吻合的二维单元，以后可用于有限元理论的学习，工程优化的核心处理器，编程过程中与有限元理论还有很多细节，可以在以后的结构笔记上展开讨论。通过有限元编程，可以了解到SAP2000的壳元、板元膜元的计算核心，有一种豁然开朗的感觉，有限元工具再不是黑箱子了。附年可以下载以上5个实例的文件，往后增加一些不规则结构计算对比结果。
往后在DINOSTRU结构笔记，增加有限元的学习内容
====本节完====

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