【转自：Dino结构笔记-公众号】多自由度体系模型的振型求解

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【程序下载】程序：MDOF振型求解小程序modeShape.rar

【PPT下载】PPT：MDOF的振型求解方法.pdf
【笔记下载】Pdf：关于振型求解的相关计算笔记.pdf

本篇笔记的内容是香港大学研究生抗震课程第4课的相关内容：

通过公式推导，代入数值手算及编程的方法介绍MDOF的振型求解。

求解振型的小程序的界面

如何在ETABS或SAP2000建立层剪切模型或求解振型的方法，可以看以下的DINO公开课视频

[Dino公开课]多自由度简化模型的建模方法

http://www.dinochen.com/article.asp?id=260

单自由度体系的周期求解公式如下：


从公式可见，结构的周期只与质量与刚度有关，与外荷载与阻尼比无关，所以周期、振型就是一种结构自我的特性。
我们把这个公式改为原来形态，即无阻尼的自由振动形式：

把这个单自由度公式改成多自由度的公式，即变成如下公式：

我们假定位移的解为位移函数为：

加速度就是求两次导数

代入方程可以得到：

要想方程等于0，那么系数项的特征值就为0


所以周期与振型的计算，就变成了矩阵的特征值问题了
这个矩阵[A]的特征值方程的解ω就是结构每个振型的圆频率。
以2个自由度的体系来说，求解特征值就非常简单如下所示：


2×2行列式可直接写成如下形式

求解上面的一元二次方程得解。
具体的例题求解可见附件的PPT

PPT的下载地址：【PPT下载】PPT：MDOF的振型求解方法.pdf



PPT提供了2自由度与4自由度的手算方法。



那么对于复杂的多自由度系统的求解，就要采用数值求解方法了。


上述方程的特征值可以不能通过Jacobi数值算法求得，
主要是因为Jacobi数值算法只能求解对移矩阵的特征值 
所以需要把[m]^(-1) [k]变成对称矩阵

采用Jacobi求解矩阵[B]的特征值即可。程序的主要源代码如下图所示：

下述方法直接写出层模型[B]矩阵，然后采用Jacobi的特征值求解

最后根据上述的矩阵方法，可以编制振型计算小程序如下所示：

详细编制过程可以看《笔记》
【笔记下载】Pdf：关于振型求解的相关计算笔记.pdf

本篇笔记附送 dino“真的”结构动力学笔记，如下图所示。

最后的彩蛋：

展示采用SAP2000对薄板高频振动分析的分析结果图案，与现实试验的动画如下图所示。

SAP2000的建模与边界条件。

SAP2000的振型结果


真实薄片(薄板)高频振动试验（通过共振激出高频振型）

视频来源：https://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w
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