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弹性模量是表征材料弹性变形、进行结构设计的重要指标。众所周知，1676年，Robert Hooke（1635-1703）于1676年给出了弹簧变形与力之间的关系，即虎克定律，
这里， F表示力，x表示弹簧变形。k是表征弹簧弹性变形能力的常数，称为劲度系数（倔强系数）或弹性系数，由式(1)可知k可以通过力F与弹簧变形x的比值求得。弹性模量在材料变形中有些像弹性系数k的意思，但它的发现要比弹性系数曲折的多。
图1 Robert Hooke (1635 –1703)
17世纪末期，莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646-1716）提出微积分后迅速在欧洲大陆产生了极大的影响，为了扩展微积分的应用范围，许多科学家提出各种各样的问题来扩展微积分的应用领域。雅各布.伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）提出了一个体现微积分应用的力学问题，他很可能是第一位涉及到弹性模量的数学力学家。题目如下：
“如图2(b)所示的悬臂梁，在其自由端作用一集中载荷P，求梁的挠曲线。”
雅各布的想法是，悬臂梁的挠度可通过梁的曲率来确定，用y表示挠度，则存在以下关系：
上式中左边的r表示梁弯曲后的曲率半径，表征梁的弯曲程度。显然，梁的弯曲程度与弯矩相关，经过推到，雅各布得到了如下关系：
1696年，雅各布的弟弟，约翰.伯努利（Johann Bernoulli，1667–1748）以公开信的方式，向全欧数学家提出了著名的“最速降线问题”，促成了一个新的学科——变分法的诞生。约翰的儿子，丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli，1700–1782）就建议约翰的学生欧拉（LeonhardEuler，1707-1783）采用变分法求解雅各布提出的梁变形问题，他在给欧拉的一封信里说道：
分，丹尼尔建议欧拉的题目相当于是不计常数项求梁变形时的最小应变能。这在力学上被称为最小势能原理，该原理认为梁的真实变形要满足使得应变势能取最小值，是最小作用量原理在弹性力学中的具体化。
不久之后，欧拉采用变分法导出了与雅各布相同的结果：
拉的结果中，挠度与长度的平方成正比是错的，而应该是3次方。此外，系数C就是抗弯刚度EI，他把C称为“绝对弹性”，认为它与材料的弹性性能，以及梁的截面形状有关（参考铁木辛柯《材料力学史》）。很多学者提到，欧拉在1727年发表的一篇文章里提出了弹性模量的概念（缺文献），可能只是有关这一概念的想法。但即便如此，欧拉相对于雅各布纯粹讨论微积分的应用，已经向力学迈进了一步，更重要的是指出了C与材料弹性性能的相关性。
图4 Giordano Riccati 1709-1790
从此，人们已经相信材料弹性性能也是材料属性之一，并尝试测量各种材料的这种属性。1782年，意大利实验力学家Giordano Riccati利用梁的振动特性测定了钢相对于黄铜的弹性模量，这被认为是测定弹性模量的第一个实验，他得到的结果如下：
但是Giordano Riccati仍没有给出弹性模量的概念，只是把它视为反应材料弹性性能的参数。1807年，托马斯.杨（Thomas Young, 1773-1829）发表了A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts，明确提出“弹性模量”（the modulus of the elastic）这一概念，他在文中写道：
图5 Thomas Young (1773-1829)
‘we may express the elasticity of any substance by the weight of a certaincolumn of the same substance, which may be denominated the modulus of itselasticity, and of which the weight is such, that any addition to it wouldincrease it in the same proportion as the weight added would shorten, by itspressure, a portion of the substance of equal diameter’.
“我们可以用同一物质的某一列的重量来表示任何物质的弹性，该重量可以用其弹性模量来表示，并且重量是这样的，当物体受压时，增加额外的压力物体的缩短量就会按照该重量等比例的增加。”
托马斯.杨还指出了这一模量既适用于棒的压缩也适用于杆的延伸，并且还适用于液体。他还特别强调了以下事实：胡克定律仅在物体保持弹性变形时适用，此后发生塑性变形就不再适用了。此外，托马斯杨还测定了多种材料的弹性模量，
不可否认，托马斯.杨对弹性模量的定义是比较复杂的，他所提到的“某一列重量”令人不知所云（我猜他本意应该是物质的某一性质）。但是他明确了弹性模量（the modulus of the elasticity）的概念，指出弹性模量是物体的固有属性之一，这与之前工程师们利用虎克定律把结构刚度与弹性模量混为一谈有着本质的区别，因此，人们也把弹性模量称为杨氏模量（Young’s modulus），以纪念他在物体弹性变形方面的贡献。
不过，我们今天所学的弹性模量的概念并不是托马斯.杨给出的，而是由法国力学家纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836）于1826年提出的。在介绍纳维的工作之前还需要再介绍另外两位科学家的工作。
图6 Claude-Louis Navier (1785-1836)
其一是柯西对应力、应变的定义，1822年，柯西（Augustin Cauchy, 1789-1857）在给法国科学院的论文中指出材料弹性条件反应了材料的内在属性，这里给出了应力和应变的概念。
图7 Augustin-Louis Cauchy (1789-1757)
Gerstner 采用的单位为“LowerAustrian pounds per square inch”，换算成国际单位制，需要乘以系数0.0081，最终得到结果为195.283GPa，我们现在一般用210GPa。不过Gerstner自己称弹性模量为弹性力之比（elastic force ratio）。
图8 Franz Joseph Ritter von Gerstner （1756-1832）
图9 Gerstner 设计的测定力与变形曲线的实验装置
应力、应变的概念有了，测量材料加载曲线的实验技术有了，人们即将揭开弹性模量的面纱。1826年，纳维在分析梁变形及其强度时，区分了弹性模量（E）和截面惯性矩（I），对于矩形截面梁给出了如下抗弯刚度（注：纳维用表示抗弯刚度）：
分用截面惯性矩来体现）。在纳维的结构理论中，弹性模量占有极为重要的地位，可依据弹性模量来概括材料的力学性能实验。例如纳维改变了实验测试方案，经过大量的锻造铁实验，采用平均值作为材料的弹性模型，得到弹性模量为200GPa的结果。
弹性模量终于走出了重重雾霾，在力学研究以及各种工程建设中发挥出重要作用！
[1] 武际可. 伯努利家族在力学上的贡献[J]. 力学与实践, 2009(03):105-107.
[3] Chiara Tardini (2015) Evaluating the Load-BearingCapacity of Wood Elements in Early 19th-Century France, International Journalof Architectural Heritage, 9:5, 628-638,
[4] Karl-Eugen Kurrer. On the Relationship betweenConstruction Engineering and Strength of Materials in Gerstner’s “Handbookof Mechanics”
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