【OpenSEES】浅析Newton迭代（三）：基于Krylov优化迭代算法

测试模型简介

算例如图2所示：杆件由柔性杆（element elasticBeamColumn 1 1 2 20 29000 1400 1）和刚性杆约束（rigidLink -beam 2 3）组成，一段支座固接，一段支座为滑动支座。因此，节点2和节点3应具有相同的水平位移和转角，节点2和节点3之前的垂直位移差等于转角乘以刚性杆长度。体系刚度矩阵如图1所示。

Lagrange拉格朗日乘子法

Lagrange（拉格朗日乘子法）命令主页如图2所示。Lagrange将拉格朗日乘子作为未知量引入平衡方程，通过调整比例因子可任意缩放约束方程。为在本算例中实现约束条件，与Penalty罚数相同，取1E4倍的柔性杆线刚度为比例因子，此时刚度矩阵如图2所示。可见，Lagrange增加了刚度矩阵的维度，将一定程度增加矩阵求解耗时。

由图2可知，采用Lagrange后刚度矩阵对角线上出现零值，但该矩阵并不奇异。此时采用部分求解器，如默认的ProfileSPD，将出现如图3所示的错误信息。

Transformation通过静态凝聚来实现多点约束，在收敛准则及求解器的选择上没有要求，但当某个节点包含多种不同形式的约束时，可能会产生错误的求解结果。如本算例，采用Transformation的求解结果如图5所示，结果不正确且未出现任何错误信息。

针对该问题，官网上有简短的总结，如图6所示。”If multiple nodes are constrained, make sure that the retained node is not constrained in any outher constraint “，用更简洁的话来说：多点约束的从节点不可被施加其他约束。

本推送算例中，通过“rigidLink -beam 2 3”进行刚性约束，其中节点3为从节点。此时，在Transformation中不允许节点3被施加其他约束，而该算例中通过“fix”约束节点3的竖向位移，因此出现错误的求解结果。可将“rigidLink -beam 2 3”修改为“rigidLink -beam 3 2”，使节点3变为主节点，求解结果如图7所示，为有效的求解结果。

• 小结

• Plain仅适用于处理“fix”及“EqualDOF“约束问题；

• Penalty引入罚数实现约束，罚数应足够大以满足约束需求，但也不应过大避免方程组病态。由于罚数的存在，应使用仅与位移相关的收敛准则；

• Lagrange将拉格朗日乘子作为未知量引入平衡方程（矩阵维度增加），通过比例因子实现约束。由于矩阵对角线存在零值，对求解器选择有要求（可使用UmfPack），若比例因子较大应使用仅与位移相关的收敛准则；
• Transformaion通过静态凝聚实现约束，对收敛准则及求解器无要求，但需注意多点约束的从节点不可被施加其他约束。

笔者推荐首选Transformation，当存在多点约束的从节点存在多类型约束时，建议使用Plenaty处理约束。