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今天和大家谈谈结构有限元求解的原理和工程应用，我个人建议是先宏观掌握软件的求解原理，然后再深入细节研究软件的操作含义。

   结构有限元的控制方程为

       （1）   

其中：[M]–总体质量矩阵；[C]–总体阻尼矩阵；[K]–总体刚度矩阵，[u]–总体节点位移矩阵；[F]–总体节点载荷矩阵。

（1）式是结构动力学的有限元控制方程，如果是静力学，则（1）式退化为

                 （2） 

（1）和（2）式分别是结构动力学和结构静力学的有限元计算控制方程，由以上两式可知，结构动力学求解的是常微分方程，即需要在时间上离散，同时又需要在空间上离散；结构静力学只需求解代数方程组，由此可知结构静力学比结构动力学的求解效率高，那么什么情况下使用静力学呢？理论表明外部载荷的激励频率小于结构最低固有频率的1/3时，就可以把动力学问题看成准静态问题，使用结构静力学模块求解。下面通过一个例子来进行说明。

如图1所示给出了100N载荷作用下的悬臂梁最大变形为0.0105m，图2给出了悬臂梁的固有频率，由图2可知，悬臂梁的第一阶固有频率为72.563Hz。

图1 100N载荷作用下悬臂梁总体变形云图

图2 悬臂梁的固有频率

图3  悬臂梁最大变形与激励载荷的关系曲线（100N）

目前商用软件基本采用以节点位移为未知量，进行求解。如果总体质量矩阵，总体阻尼矩阵和总体刚度矩阵为常量，则为线性结构，程序不需要迭代，直接求解代数方程组，即可得到节点位移（节点变形），如果总体质量矩阵，总体阻尼矩阵或总体刚度矩阵其中一项和结构变形相关，即不为常量，则非线性结构问题，在实际工程问题中，一般只有结构刚度矩阵不为常量的情况，而是和节点位移相关，这时程序使用牛顿–拉夫森迭代方法进行求解，由此可知非线性的计算成本和难度要高于线性问题。ANSYS为求解非线性问题提供了完整的计算方法，在后面的文章会跟大家进行分享。

                图非线性计算力收敛曲线

程序计算得到节点位移后，然后使用几何方程得到单元的高斯积分点应变，再由材料的应力–应变关系（本构方程），得到单元高斯积分点应力，然后对于线性问题，程序使用外插法将单元高斯积分点应力外推到单元节点上，对于非线性问题，程序直接将高斯积分点应力拷贝到单元节点上，因此有限元计算得到节点位移对网格不敏感而且相对准确，而节点应力对网格比较敏感，需要合理的网格密度才能得到稳定的节点应力解答，并且有时会出现应力奇异的虚假解。

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下期预告：结构有限元计算中的应力奇异问题及处理方法，欢迎关注公众号。