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建筑结构丨地震力到底是怎么算出来的——振型的参与系数和有效质量

来源:知乎;作者:猪小宝

看这篇文章之前,请大家先补充下之前发的7篇,以便理清思路:

【连载1】刚度的概念,单自由度体系的底部剪力法

【连载2】单自由度体系的动力时程分析;

【连载3】自振周期对动力响应的影响

【连载4】等效地震加速度的反应谱

【连载5】地震力到底怎么算出来的——多自由度体系的质量、刚度、自振周期

【连载6】地震力到底是怎么算出来的——多自由度体系的底部剪力法

【连载7】地震力到底是怎么算出来的——多自由度体系的振型

今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。

把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来,0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度……刚度除以质量,然后再开平方,得到的就是频率。

发现了什么没有?没错,我们得到的就是房子的三个自振频率。

我们再回过来看我们的特征矩阵是如何得到的。

注意到,我们人为规定了的特征矩阵的第三行等于1。事实上,这只是一个人为规定,并没有特别的意义。我们完全可以规定让第一行都等于1,或者第二行都等于1,或者某一行都等于0.5。

比如说,我让第二行都等于1,此时特征矩阵和 principal 质量矩阵、刚度矩阵就变成了这样。

这时候,principal 矩阵还是只有主对角线上不为零,但与上面相比,数都变了。但是,数变了不要紧,把它们一一对应起来,得到的还是自振频率。

也就是说,单纯的缩放特征矩阵的某一列或者某几列,并不会影响到我们的结果。那问题就来了,对于特征矩阵来说,任意的缩放某一列或者某几列,可以得到无数的结果。我们如何给出一个相对统一的标准呢?换言之,我们 normalize 特征矩阵的时候,比较合理的目标是什么呢?

比如说,我们可以让目标是主质量矩阵的对角线都是单位质量,也就是都是1。换言之,我们要让上面主质量矩阵里的 0.859、2.789、0.552 这些数都变成 1。怎么做到呢?其实也很简单,特征矩阵的第一列除以主质量矩阵的第一项的平方根,第二列除以主质量矩阵第二项的平方根……

把特征矩阵的各列分别缩放,我们就得到了这个新的特征矩阵。

用这个新的特征矩阵,我们就得到了 normalize 之后的质量矩阵和刚度矩阵。这种 normalize 的方法,一般叫做 mass orthonormal set。注意到,得到的质量矩阵 Mn,主对角线都为1,而刚度矩阵 Kn,主对角线的值都是自振频率的平方,比如132.042是第一频率11.491的平方,1036.639是第二频率32.197的平方。

接下来,我们还得再定义一个叫做 influence vector 的向量。什么意思呢?意思就是当地面发生静态的单位位移的时候,各个楼层会发生多少位移?有看官说了,这不是废话吗,地面发生1的单位位移,不就是整个房子平移了嘛,每一层都是1呗。不错,因为我们只考虑水平方向的地震,暂时还没有考虑竖直方向的地震,所以对于绝大多数房子来说都是如此。

所以呢,我们这个三层房子的 influence vector 就是 1、1、1。

把我们的初始的质量矩阵跟这个影响向量相乘,我们就得到了一个质量的向量。什么意思呢?这个向量表示的就是当房子整体平移的时候,每个楼层处发生平移的质量。对于绝大多数情况来说,其实很简单,得到的就是每一层的质量。

说了半天,我们终于快说到振型分解了。我们上一篇说道,所谓的振型分解,就是把房子分解成三个基本振型的叠加。到底分解的是什么呢?答案就在这里,我们其实分解的是质量。也就是说,整个房子的质量是一层0.3、二层0.3、三层0.3。我把这些质量合理的分配到三个振型里去,比如对于一层来说,第一振型0.2、第二振型0.07、第三振型0.03,加起来等于总的0.3。对于二层也是如此,只不过可能分配的比例有所不同,三层也是一样。

这样一来,我们就得到了每种振型对应的质量,进而我们就能知道每种振型在地震下的反应了。问题就又来了,到底如何分配呢?

对于每个振型,我们定义两个参数,一个是 Lh,一个是 M。

其实很简单,因为我们每一层的质量都一样,所谓的 Lh 就是把 normalize 之后的特征矩阵的每一列加起来,再乘以单层的质量 0.3。

而参数M其实也就是 principal 的振型质量,也就是都是1。或者,也可以验证计算一下,跟上面的过程一样,只不过需要再平方一下。

把这两个参数相除,我们就得到了各振型的地震参与系数。

地震参与系数有什么用呢?根据这个参与系数,我们可以进一步得到各个振型对位移、地震力的贡献。换言之,也就是把每一层的有效质量 0.3 分配到每个振型。

虽然看上去很复杂,其实是这么算的:

也就是说,我们已经把每一层的质量分配到了各个振型。为了方便理解,我们可以把质量单位转化为吨。

一层的300吨,分配到第一振型163吨,第二振型105吨,第三振型32吨,加起来刚好300吨。同样,二层的300吨,第一振型294吨,第二振型47吨,第三振型-40吨。三层的300吨,第一振型366吨,第二振型-84吨,第三振型18吨。

或者,我们以300吨为单位质量,把质量在振型中的分配也 normalize。

图像化表示的话,有效质量在振型中的分配是这样的:

把每个振型的各层有效质量加起来,就得到了每个振型的有效质量。比如对于第一振型,0.54加0.98加1.22等于2.74,对于第二振型,0.35加0.16加-0.28等于0.23,第三振型的0.11加-0.13加0.06等于0.04。

三层房子,每层质量为1,总质量为3。而我们的第一振型的有效质量是2.74,第二振型是0.22,第三振型是0.03,加起来等于总质量3。也就是说,第一振型占到了总质量的91.4%,第二振型占7.5%,第三振型只占1.1%。从上面的图像也能很直观的看出,第一振型占了绝大多数有效质量,第二振型所占很少,第三振型更是可以忽略。

在我们 part.6 的底部剪力法里,我们说近似可以用第一周期来代表房子的自振特性。换言之,我们认为整个房子的有效质量都分配到第一振型,忽略第二振型和第三振型的存在。我们今天的振型分解结果表明,第一振型占到了91.4%,作为近似计算,可以近似认为约等于 100%。这也就是底部剪力法的合理性所在。尽管不够精确,但是底部剪力法可以快速的近似估算地震反应的大小,为设计和分析提供了一种合理的近似方法。

得到各个振型的参与系数和有效质量之后,下一步我们就能确定地震下每种振型的反应情况了,进而将它们组合叠加成为整个房子的地震响应。欲知详情如何,且听下回分解。

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作者: ganggouren

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